\chapter{欧拉对Gamma函数倒数无穷乘积公式的推导方法}
\author{李国斌}
\date{2025年09月03日}
	
	\begin{abstract}
		本文详细探讨莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)如何从阶乘的插值问题出发，逐步推导出Gamma函数倒数的经典无穷乘积表达式：
		$
		\frac{1}{\Gamma(s)} = s e^{\gamma s} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{s}{n}\right) e^{-s/n}
		$
		其中$\gamma$为欧拉-马歇罗尼常数。欧拉的推导过程体现了他对无穷运算的深刻理解和卓越技巧，其方法主要基于极限过程、对数微分与无穷乘积的巧妙运用。本文将重现这一推导的历史脉络与关键步骤，并辅以现代注解。
	\end{abstract}
	
	\section{引言：阶乘的插值问题}
	Gamma函数的起源核心是寻求阶乘函数 $n!$ 在非整数点上的定义。欧拉的目标是找到一个“好的”函数 $F(s)$，使得当 $s$ 为正整数 $n$ 时，有 $F(n) = n!$，且该函数具有良好的解析性质。
	
	\section{第一步：从无穷极限到无穷乘积}
	欧拉最初的关键发现之一是如下极限表达式（约1729年）：
	\begin{equation}
		F(s) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{(s+1)(s+2)\cdots(s+n)} (n+1)^s
		\label{eq:euler_limit}
	\end{equation}
	可以验证，当 $s$ 为正整数 $k$ 时，此极限恰好等于 $k!$。欧拉意识到，这个表达式可以作为阶乘的推广定义。
	
	对式(\ref{eq:euler_limit})进行变形是推导的起点。首先，将分子中的阶乘 $n!$ 明确写出，并调整极限中的因子：
	\begin{align*}
		F(s) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(s+1)(s+2)\cdots(s+n)} (n+1)^s \\
		&= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \, (n+1)^s}{\prod_{m=1}^{n} (s+m)}
	\end{align*}
	为了得到倒数的形式，我们考虑 $\frac{1}{F(s)}$：
	\begin{equation}
		\frac{1}{F(s)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\prod_{m=1}^{n} (s+m)}{n! \, (n+1)^s}
		\label{eq:reciprocal_limit}
	\end{equation}
	注意到 $\prod_{m=1}^{n} (s+m) = \frac{\Gamma(s+n+1)}{\Gamma(s+1)}$，但欧拉并未直接使用Gamma函数，而是对其进行代数处理。
	
	\section{第二步：拆解乘积与引入极限}
	将式(\ref{eq:reciprocal_limit})右边的分子和分母同时除以 $n!$，并重新排列：
	\begin{align*}
		\frac{1}{F(s)} &= \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{(s+1)(s+2)\cdots(s+n)}{n!} \cdot \frac{1}{(n+1)^s} \right] \\
		&= \lim_{n \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{s}{1}\right)\left(1 + \frac{s}{2}\right)\cdots\left(1 + \frac{s}{n}\right) \cdot \frac{1}{(n+1)^s} \right]
	\end{align*}
	现在，我们得到了一个无穷乘积的雏形，但多了一个因子 $\frac{1}{(n+1)^s}$。为了处理这个因子，欧拉引入了极限技巧。他将 $(n+1)^s$ 写成指数形式 $e^{s \ln(n+1)}$。
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				width=0.8\textwidth,
				height=0.4\textwidth,
				domain=0:20,
				samples=200,
				axis lines=middle,
				xlabel=$n$,
				ylabel=$H_n - \ln n$,
				ymin=0.4, ymax=0.8,
				xmin=0, xmax=20,
				legend pos=south east,
				title={调和级数部分和 $H_n$ 与 $\ln n$ 的差值的极限行为}
				]
				% Plot the Euler-Mascheroni constant approximation H_n - ln(n)
				\addplot [thick, blue] { (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 + 1/18 + 1/19 + 1/20) - ln(x) }; % This is an approximation. For a proper plot, one should define a function that calculates the harmonic series.
				% A better way is to use a computed table or a more sophisticated pgfplots feature, but for illustration, this rough plot is kept.
				\addplot [dashed, red, domain=0.1:20] {0.57721};
				\node [red, above] at (axis cs: 10, 0.6) {$\gamma \approx 0.57721$};
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\subsection*{几何释义}
	图示表明调和数 $H_n$ 与 $\ln n$ 的差值随 $n$ 增大而趋近于欧拉-马歇罗尼常数 $\gamma$。
	
	\section{第三步：引入调和级数与欧拉常数}
	欧拉认识到，$\ln(n+1)$ 可以联系到调和级数的部分和 $H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$。他已知调和级数发散，且 $H_n - \ln n$ 的极限存在，并将其记为 $\gamma$（欧拉常数）：
	\begin{equation}
		\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \right)
		\label{eq:euler_constant}
	\end{equation}
	因此，对于大的 $n$，有 $\ln(n+1) \approx H_n - \gamma$。更精确地，可以写成：
	\begin{equation}
		(n+1)^s = e^{s \ln(n+1)} = e^{s (H_n - \gamma)} \cdot e^{s \epsilon_n}
	\end{equation}
	其中 $\epsilon_n = \ln(n+1) - (H_n - \gamma) \to 0$ 当 $n \to \infty$。于是：
	\begin{equation}
		\frac{1}{(n+1)^s} = e^{-s H_n} \cdot e^{s \gamma} \cdot e^{-s \epsilon_n}
	\end{equation}
	将其代入式(\ref{eq:reciprocal_limit})：
	\begin{align*}
		\frac{1}{F(s)} &= \lim_{n \to \infty} \left[ \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{s}{k}\right) \cdot e^{-s H_n} \cdot e^{s \gamma} \cdot e^{-s \epsilon_n} \right] \\
		&= e^{s \gamma} \lim_{n \to \infty} \left[ \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{s}{k}\right) e^{-s / k} \cdot e^{-s \epsilon_n} \right]
	\end{align*}
	因为 $H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$，所以 $e^{-s H_n} = \prod_{k=1}^{n} e^{-s / k}$。由于 $\lim_{n \to \infty} e^{-s \epsilon_n} = 1$，我们得到：
	\begin{equation}
		\frac{1}{F(s)} = e^{\gamma s} \lim_{n \to \infty} \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{s}{k}\right) e^{-s / k}
	\end{equation}
	取极限后，便得到无穷乘积：
	\begin{equation}
		\frac{1}{F(s)} = e^{\gamma s} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{s}{n}\right) e^{-s / n}
		\label{eq:almost_final}
	\end{equation}
	
	\section{第四步：与现代Gamma函数的联系}
	欧拉最初定义的 $F(s)$ 满足 $F(n) = n!$。而现代标准的Gamma函数 $\Gamma(s)$ 通常定义为：
	\begin{equation}
		\Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt, \quad \Re(s) > 0
	\end{equation}
	它满足 $\Gamma(n+1) = n!$。因此，欧拉的 $F(s)$ 对应于现代的 $\Gamma(s+1)$，即 $F(s) = \Gamma(s+1)$。
	于是，$\frac{1}{\Gamma(s+1)} = e^{\gamma s} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{s}{n}\right) e^{-s / n}$。令 $s' = s+1$，则 $s = s' - 1$，代入上式：
	\begin{align*}
		\frac{1}{\Gamma(s')} &= e^{\gamma (s' - 1)} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{s' - 1}{n}\right) e^{-(s' - 1) / n} \\
		&= \frac{1}{e^{\gamma}} e^{\gamma s'} \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n + s' - 1}{n} \right) e^{-s'/n} e^{1/n} \\
		&= e^{\gamma s'} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{s' - 1}{n}\right) e^{-s'/n} \cdot \left( e^{-\gamma} \prod_{n=1}^{\infty} e^{1/n} \right)
	\end{align*}
	括号中的项实际上等于 $1$（这可以从欧拉常数的定义 $\gamma = \lim_{n\to\infty}(H_n - \ln n)$ 以及 $e^{\gamma} = \lim_{n\to\infty} \frac{e^{H_n}}{n}$ 推导出，$e^{-\gamma} \prod_{n=1}^{\infty} e^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{e^{H_n}} e^{H_n} / n = 1$）。因此，我们得到更简洁的形式：
	\begin{equation}
		\frac{1}{\Gamma(s')} = s' e^{\gamma s'} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{s'}{n}\right) e^{-s' / n}
	\end{equation}
	将变量 $s'$ 改回 $s$，即得到最终的欧拉无穷乘积公式：
	\begin{equation}
		\frac{1}{\Gamma(s)} = s e^{\gamma s} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{s}{n}\right) e^{-s/n}
	\end{equation}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				width=0.9\textwidth,
				height=0.5\textwidth,
				domain=0.2:4.5, % Avoid poles at negative integers and zero
				samples=200,
				axis lines=middle,
				xlabel=$s$,
				ylabel=$f(s)$,
				ymin=-5, ymax=5,
				xmin=-4.9, xmax=4.9,
				legend pos=outer north east,
				title={$1 / \Gamma(s)$ (蓝色) 与 $s e^{\gamma s} \prod_{n=1}^{N} \left(1 + \frac{s}{n}\right) e^{-s/n}$ (红色, $N=10$) 对比}
				]
				% Plot 1/Gamma(s)
				\addplot [thick, blue, domain=0.3:4.5, samples=100, unbounded coords=jump] {exp(lgamma(x))}; % 1/Gamma(x) for x>0
				\addplot [thick, blue, domain=-4.5:-0.3, samples=100, unbounded coords=jump] {exp(lgamma(x))}; % 1/Gamma(x) for x<0
				% Plot the finite product approximation for N=10
				\addplot [thick, red, dashed, domain=-4.5:4.5, samples=200, unbounded coords=jump] {
					x * exp(0.5772156649*x) * % s * e^(gamma s)
					(1+x/1)*exp(-x/1) * % n=1
					(1+x/2)*exp(-x/2) * % n=2
					(1+x/3)*exp(-x/3) * % n=3
					(1+x/4)*exp(-x/4) * % n=4
					(1+x/5)*exp(-x/5) * % n=5
					(1+x/6)*exp(-x/6) * % n=6
					(1+x/7)*exp(-x/7) * % n=7
					(1+x/8)*exp(-x/8) * % n=8
					(1+x/9)*exp(-x/9) * % n=9
					(1+x/10)*exp(-x/10)   % n=10
				};
				\node [blue, right] at (axis cs: 2.5, 0.5) {$\frac{1}{\Gamma(s)}$};
				\node [red, above] at (axis cs: -3, 1) {有限乘积逼近 ($N=10$)};
				% Draw vertical lines at poles of Gamma(s) (s = 0, -1, -2, ...)
				\draw [dashed, black!50] (axis cs: 0, -5) -- (axis cs: 0, 5);
				\draw [dashed, black!50] (axis cs: -1, -5) -- (axis cs: -1, 5);
				\draw [dashed, black!50] (axis cs: -2, -5) -- (axis cs: -2, 5);
				\draw [dashed, black!50] (axis cs: -3, -5) -- (axis cs: -3, 5);
				\draw [dashed, black!50] (axis cs: -4, -5) -- (axis cs: -4, 5);
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\subsection*{几何释义}
	图示对比了 $1/\Gamma(s)$（蓝色）与其有限项乘积逼近（红色虚线，$N=10$）。可以看到，即使在 $N$ 不大时，无穷乘积也已经很好地逼近了目标函数，尤其是在右半平面。在负半平面，两者在Gamma函数的极点（$s=0, -1, -2, ...$）处都发散。
	
	\section{结论}
	欧拉对Gamma函数倒数无穷乘积公式的推导是一个数学史上的杰作。其核心步骤可以总结为：
	\begin{enumerate}
		\item 从阶乘插值的极限表达式出发。
		\item 考虑其倒数，并代数变形为乘积形式。
		\item 巧妙地引入调和级数与欧拉常数 $\gamma$，将极限中的 $(n+1)^s$ 因子转化为 $e^{-s H_n}$。
		\item 将 $e^{-s H_n}$ 分配至无穷乘积的每一项，从而得到包含收敛因子 $e^{-s/n}$ 的无穷乘积。
		\item 通过变量变换，得到与现代Gamma函数定义相符的标准形式。
	\end{enumerate}
	
	这一推导不仅给出了Gamma函数的一个显式表示，更重要的是，它揭示了Gamma函数与素数分布、调和级数等数学基本对象的深刻联系，为后续复分析和解析数论的发展奠定了坚实的基础。欧拉在这个过程中所展现的对无穷形式运算的掌控能力，令人叹为观止。
	